Міністерство освіти України
ІКТАМ
при Національному університеті "Львівська політехніка"
Кафедра : автоматики та телемеханіки
Курсова робота
з курсу
"Чисельні методи аналізу автоматичних систем"
на тему:
"Автоматичний потенціометр з диференціюючим контуром"
Тема 1, варіант 10
Львів 2004
Зміст
Завдання 3
Опис роботи схеми 4
Метод Ейлера 4
Метод Рунге-Кутта-Фельберга 5
Реалізація автоматичного кроку 5
Виведення системи диф. Рівнянь 6
Блок-схеми алгоритмів 7
Тексти програм 8
Результати 13
Графічні результати 16
Висновок: 17
Література: 18
Завдання
Двома заданими чисельними методами розрахувати з заданою точністю процес реакції заданої системи автоматичного керування (САК) на одиничний стрибок вхідного сигналу.
Розрахунок здійснити для свого варіанту САК, параметрів САК, параметрів перехідного процесу і параметрів процесу чисельного інтегрування.
Чисельні методи 1) з фіксованим кроком – Ейлера модифікований.
2) з автоматичним вибором кроку – Рунге-Кутта-Фельберга.
Точність розрахунку не нижча 0.001, початкові умови – нульові.
1. Схема.
2. Рівняння ланок
a) вимірювальна система
b) диференціюючий контур
c) підсилювач
d) двигун
e) редуктор
;
3. Завдання
I
40
Ід (г∙см∙с2)
0,02
Θm (рад)
5
Ін (г∙см∙с2)
50
Un (мв)
70
К
0,2
Сu (г∙см∙в)
10
Т (с)
0,06
Сw (г∙см∙с /рад)
2
Опис роботи схеми
Вимірювальна схема побудована на реохордах, які включені по мостовій схемі.
У зрівноваженому стані
вх=вих
При появі , припиненні чи зміні вх порушується умова балансу і на вході електронного підсилювача (ЕП) виникає різниця напруг :
U=КУе2 .
Підсилена різниця напруг у Ку раз подається на обмотку управління двохфазного реверсивного двигуна. Під дією цієї напруги двигун починає обертатись і здійснює поворот на кут . Вал двигуна з'єднаний з редуктором (Ред) , який перетворює оберти у переміщення з коефіцієнтом підсилення і . Редуктор повертає повзунок реохорда, з яким він з'єднаній механічно , і змінює величину вих . Цей процес буде тривати доти , доки U не стане рівне нулю , тобто вх=вих .
Метод Ейлера модифікований.
Розв’язок в околі точки xm розкладається в ряд Тейлора
Якщо xm змінюється з кроком h, припустивши, що сітка x0,x1,...,xm є рівномірною, можна отримати наближене значення y(x) в точці xm+1 :
Якщо обмежитися i=1,то отримаємо формулу методу Ейлера :
При переході до системи диференціальних рівнянь скалярні величини замінюються на векторні :
Метод Рунге-Кутта-Фельберга
Метод Рунге-Кутта-Фельберга є модифікацією метода Рунге-Кутта
4-го порядку. Він реалізується за наступним алгоритмом:
За допомогою циклів з керуючою змінною j обчислюємо
Yj(n+1) = Yjn + K0j/9 + 9K2j/20 + 16K3j/45 + K4j/12 ,
де
K0j = h * Fj( Xn , Yjn )
K1j = h * Fj( Xn + 2h/9 , Yjn + 2K0j/9 )
K2j = h * Fj( Xn + h/3 , Yjn + K0j/12 + K1j/4 )
K3j = h * Fj( Xn + 3h/4 , Yjn + 69K0j/128 – 143K1j/128 + 135K2j/64 )
K4j = h * Fj( Xn + h , Yjn - 17K0j/12 + 27K1j/4 - 27K2j/5 + 16K3j/15 )
K5j = h * Fj( Xn + 5h/6 , Yjn + 65K0j/432 – 5K1j/16 + 13K2j/16 + 4K3j/27 + K4j/144 );
Метод Рунге-Кутта-Фельберга також має похибку інтегрування h5 , але, на відміну від методу Рунге-Кутта 4-го порядку, для оцінки похибки відпадає необхідність робити подвійний перерахунок. Цей метод дає наближену оцінку похибки на кожному кроці інтегрування за формулою:
Rj(n+1) = K0j/150 - 3K2j/100 + 16K3j/75 + K4j/20 – 6K5j/25 ) ;
Реалізація автоматичного кроку
Нехай вже відоме значення функції в точці t. Для методу Ейлера спочатку обчислюють наступне значення з кроком h . Потім цей же проміжок обчислюють з кроком h/2. Різницю у з кроком h і у з кроком h/2 порівнюють із (попередньо задана точність). Для методу Рунге-Кутта-Фельберга немає потреби робити перерахунок з кроком h/2, похибка обчислюється на кожному кроці. Якщо похибка більше , зменшують h в два рази. Так послідовно зменшують крок до тих пір, коли похибка стане менше ...